Mathematical modeling

Computer algebra based discretizations of incompressible Navier-Stokes equations

by Vladimir Gerdt (Joint Institute for Nuclear Research)

Europe/Moscow
Description

Computer algebra based discretizations of incompressible Navier-Stokes equations

V. P. Gerdt

Head of research group (sector) on algebraic and quantum computation
Laboratory of information technologies
Joint Institute for Nuclear Research, Dubna

Abstract

The report focuses on the application of computer algebra to the construction and study of finite-difference approximations to polynomial - nonlinear systems of partial differential equations (PDE) on Cartesian grids. On such grids, one can apply constructive methods of differential and difference algebra to generate difference schemes and study their properties. In particular, differential algebra allows one  to bring the original differential system into involution, and differential algebra allows to check the property of strong consistency of the difference scheme. We illustrate these aspects of symbolic-numerical study and integration of polynomial-nonlinear PDE systems by example of incompressible Navier-Stokes equations and compare, through computational experiments, the numerical behavior of these schemes for the Cauchy problem, the initial data of which satisfy the exact solution of the Navier-Stokes equations - the only known non-stationary exact solution. Our experiments show a significant advantage over other schemes of one of the schemes, which, in addition to strong consistency, is conservative and satisfies the continuity equation with a very high degree of accuracy, although this equation is not used in constructing a solution.


Дискретизация уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости методами компьютерной алгебры

В.П. Гердт

Нач. сектора алгебраических и квантовых вычислений
Лаборатория информационных технологий
Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна

Аннотация

Доклад посвящен применению компьютерной алгебры для построения и изучения конечно-разностных аппроксимаций полиномиально – нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) на декартовых сетках. На таких сетках можно применять конструктивные методы дифференциальной и разностной алгебры как для построения, так и исследования свойств разностных схем.  В частности, дифференциальная алгебра позволяет привести исходную дифференциальную систему в инволюцию, а разностная алгебра позволяет проверить свойство сильной аппроксимации разностной схемы. Мы проиллюстрируем указанные аспекты символьно-численного изучения и решения полиномиально - нелинейных систем ДУЧП на примере уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости и сравним, посредством вычислительных экспериментов, соответствие численного поведения этих схем для задачи Коши, начальные данные которой удовлетворяют точному решению уравнений Навье-Стокса – единственному известному нестационарному точному решению. Наши эксперименты показывают значительное преимущество над другими схемами одной из схем, которая в дополнение к сильной согласованности является консервативной и с очень высокой степенью точности удовлетворяет уравнению неразрывности, хотя это уравнение не используется при построении решения